四次元ベクトルを用いて特殊相対性理論の問題を解決する方法（基礎的な時空と衝突の変換）

物理競技大会を学ぶ過程で、私は中国語の資料の中で狭義相対論（STR）の四次元ベクトルに関する記事や書籍が非常に少ないことに気づきました。そこで、私は自分の学びをもとに、関連する記事を書き、これに興味を持つ学生に学習の参考を提供できればと思っています。

なぜ四次元ベクトルを使用するのか#

STR を学ぶとき、私はさまざまなシーンの「固有」状態について悩むことがよくありました。多くの練習問題の解析や問題自体には一定の誤りが存在し、これが私のシーンの理解を混乱させる原因となっていました。しかし、なぜこの「古典的」な変換式を使うとこんなにも直感に反するのか？根本的には、私たちの脳内の時間と空間の理解が古典的なガリレオ時空に基づいているからですが、これはアインシュタインの狭義相対論の理論では通用しません。なぜなら、彼の時空は独立しておらず、狭義相対論に基づく二つの公理に基づいています。

光速不変の原理：真空中の光速はすべての慣性参照系で同じ定数であり、光源と観察者の運動状態には依存しません。
相対性原理：物理法則はすべての慣性参照系において同じ形式を持ち、「絶対静止」の慣性系は存在しません。

これに基づいて、私たちは何を結論として得ることができるのでしょうか？

光速不変から、私たちは導出できます\ x^2+y^2+z^2-c^2t^2=0

この結論の導出は、異なる時間帯における二つの光の波面の方程式を想像するだけで得られます（ここでは詳述しませんが、これは STR の基礎を紹介する記事ではありません）。

ここまで来たら、古い時空体系が理解の複雑さを引き起こしているのであれば、解決策はあるのでしょうか。答えは肯定的です。ミンコフスキーはこのような空間を提案しました。実際、狭義相対論は本質的にローレンツ群の不変量の理論であるため、このような時空を構築することで優雅にこの問題を解決できます。それがミンコフスキー時空です。

ミンコフスキー時空における基本的な四次元ベクトル#

上記の不変量から

x^2+y^2+z^2-c^2t^2=0

私たちは第一の四次元ベクトルを得ることができます。

(x,y,z,ict)

明らかに、これはどんな状況でも長さが 0 です。では、これから基本的なローレンツ変換をどのように得るのでしょうか？すなわち、(x,y,z,ict) と (x',y',z',ict') の関係です。

\text{一般的な変換式から出発します}

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ ict' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ % ここでa_31, a_32を修正しました。もし元の意図がa_31,a_31であれば戻してください。 a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ ict \end{pmatrix}

\text{次に、座標原点 $O$ が $S'$ 系における運動方程式を考えます}

x' = a_{14} t \ , \quad y' = a_{24} t \ , \ z'=a_{34} t \ , \ t'=a_{44} t

\text{したがって}

v_x'=\frac{dx'}{dt'}=-v \ , \ v_y'=\frac{dy'}{dt'}=0 \ , \ v_z'=\frac{dz'}{dt'}=0

\text{座標原点O'に対して、速度関係があるはずです}

\begin{gathered} % これらの密接に関連する公式は一つのgatheredにまとめることができます a_{11}v_x+a_{12}v_y+a_{13}v_z+a_{14}=0 \\ a_{21}v_x+a_{22}v_y+a_{23}v_z+a_{24}=0 \\ a_{31}v_x+a_{32}v_y+a_{33}v_z+a_{34}=0 \end{gathered}

\text{また、速度が}

v_x=x \ , \ v_y=0 \ , \ v_z=0

\text{と仮定します}

a_{44}=\gamma

\text{したがって、上記の式から得られるのは}

\begin{gathered} % これらの密接に関連する公式は一つのgatheredにまとめることができます x'=\gamma x+a_{12}y+a_{13}z-\gamma vt \\ y'=a_{22}y+a_{23}z \\ z'=a_{32}y+a_{33}z \\ t'=a_{41}x+a_{12}y+a_{13}z+\gamma t \end{gathered}

\text{上記の式を代入します}

x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2=0

\text{さらに、位置空間の各向異性を考慮すると}

x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2=x^2+y^2+z^2-c^2t^2

\text{係数の比較からわかることは}

\begin{gathered} % これらの密接に関連する公式は一つのgatheredにまとめることができます \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \ , \ \beta=\frac{v}{c} \\ a_{41}=\frac{\gamma v}{c^2} \ , \ a_{12}=a_{13}=a_{42}=a_{43}=0 \\ a_{22}^2+a_{23}^2=a_{32}^2+a_{33}^2=1 \ , \ a_{22}a_{23}+a_{32}a_{33}=0 \end{gathered}

\text{また、y-z空間の変化は恒等変換であるため、次のようになります}

a_{22}=a_{33}=1 \ , \ a_{23}=a_{32}=0

\text{さらに、v=0の変換が恒等変換であることから、} \gamma \text{ は正であることがわかります}

\text{以上から得られるのは}

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ ict' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & i \gamma \beta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -i \gamma \beta & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ ict \end{pmatrix}

これが最も基本的な時空座標の四次元ベクトルです。では、他にどのような基本的な四次元ベクトルがあるのでしょうか。

四次元波ベクトル $k_p=(k_x \ ,\ k_y \ , \ k_z \ , \ i\frac{\omega}{c})$ は $kr-wt=0$ を通じて理解できます。
四次元電流密度ベクトル $j_p=(j_x \ ,\ j_y \ , \ j_z \ , \ ic\rho)$ は $\nabla j + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0$ を通じて理解できます。
四次元運動量ベクトル $p_\mu = (p_x \ ,\ p_y \ , \ p_z \ , \ i\frac{W}{c})$

実際、私たちはこれらの量を使って多くの四次元ベクトルを導出できます。
例えば四次元速度は、時空座標を微分することで得られます。難しくはありません。
$U_\mu = \frac{dx_\mu}{d\tau}=\gamma(u,ic)$
明らかに、
$p_\mu = mU_\mu \ , \ j_p=\rho U_p$
そして、力学において、P を微分することで四次元力ベクトル K を得ることができます。ここでは詳述しません（ちなみに、実際には四次元加速度を使って得ることもできます。興味のある読者は自分で導出してみてください）。

四次元ベクトルの特性#

実際、これまで多くのことを話しましたが、四次元ベクトルの特性を十分に紹介していません。しかし、これは後で実際の問題を解決するための鍵です。以下にいくつかの四次元ベクトルの特性を紹介します。

ローレンツ共変性#

これは四次元ベクトルの重要な性質の一つです。以下に導出してみましょう。

\text{四次元ベクトル} X_i=(x_1 \ , \ x_2 \ , \ x_3 \ , \ x_4)

\text{を考えます。}

\text{以下のミンコフスキー計量を使用できます。}

\eta_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & +1 \end{pmatrix}

\text{これは実対称行列であり、次のようになります。}

\eta_{\mu \nu}^T=\eta_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}^{-1}

\text{このような場合に構築された四次元ベクトルはローレンツ不変性を満たします。}

\text{この計量の下で、彼らの内積を見てみましょう。}

X^i \circ Y^i = -x_1 \cdot y_1 -x_2 \cdot y_2-x_3 \cdot y_3+x_4 \cdot y_4 = X_i \cdot Y^i % 注意：ここでY^jをY^iに変更しました。X^iと一致させるためです。さもなければ内積の定義に曖昧さが生じます。元の意図がJであれば、自分で戻してください。

\text{また、ローレンツ変換行列はエルミート行列であるため、次のようになります。}

\begin{gathered} % これは導出過程であり、複数行をまとめるのが適切です。 X'_i = (X^i)^T \cdot \eta = (L \cdot X^i)^T \cdot \eta = (X^i)^T \cdot L^T \cdot \eta = (X^i)^T \cdot L \cdot \eta \\[8pt] % ここで行間を増やしました。 = (X^i)^T \cdot (\eta \cdot \eta^{-1}) \cdot L \cdot \eta = [(X^i)^T \cdot \eta] \cdot [\eta^{-1} \cdot L \cdot \eta] = X_i \cdot L^{-1} \end{gathered}

\text{したがって、四次元ベクトルには次のような性質があります。}

\begin{gathered} % これも導出過程であり、複数行をまとめるのが適切です。 X^{i'} \circ Y^{i'} = X'_{i} \cdot Y^{i'} = (X_i \cdot L^{-1}) \cdot (L \cdot Y^i) \\[8pt] % ここで行間を増やしました。 = X_i \cdot (L^{-1} \cdot L) \cdot Y^i = X_i \cdot Y^i = X^i \circ Y^i \end{gathered}

\text{これにより、ローレンツ共変性が証明されました。}

\text{ローレンツ変換を経た後、四次元ベクトルの内積の数値は変わりません。}

一部の特殊四次元ベクトルの内積と保存#

四次元速度の内積
$U \circ U =U \circ U =c^2$
四次元運動量の内積

P \circ U = m(U \circ U)=mc^2=E_0 \ , \ P \circ P = m^2c^2

四次元運動量は保存されます。

あなたはローレンツ共変性のおかげで、次のことが得られることに気づきましたか？

P \circ P = \left(\frac{E_{tot}}{c}\right)^2 - p^2 \ , \ P' \circ P' = \left(\frac{E_0}{c}\right)^2

これが有名な相対論的エネルギー - 運動量関係です。
$E_{tot}^2 = E_0^2 + p^2c^2$

したがって、光子に対しては

E_{tot}=p \cdot c \ , \ P \circ P = 0

四次元ベクトルがさまざまな時空と衝突問題を解決する妙用#

相対論的状況下のドップラー効果#

四次元波ベクトルから、次のことが得られます。

k'_x = \gamma\left(k_x - \frac{v}{c^2}\omega\right) \ , \ k'_y = k_y \ , \ k'_z = k_z \ , \ \omega' = \gamma(\omega - v k_x)

すなわち、
$\omega' = \gamma\omega\left(1 - \frac{v}{c}\cos\theta\right)$
これが相対論的状況下のドップラー効果です。

粒子衝突による光子の生成#

pair_annihilation_hd

各粒子に対して、以下の四次元運動量があります：

入射粒子：
$P_1=\gamma m \cdot (v \ , \ 0 \ , \ 0 , \ ic)$
静止粒子：
$P_2=M \cdot (0 \ , \ 0 \ , \ 0 , \ ic)$
垂直に出射される光子束：
$P_3=\frac{hf_1}{c} \cdot (0 \ , \ 1 \ , \ 0 \ , \ i)$
傾斜に出射される光子束：
$P_4=\frac{hf_2}{c} \cdot (\cos(\theta) \ , \ -\sin(\theta) \ , \ 0 \ , \ i)$
四次元運動量の保存から、
$P_1 + P_2 = P_3 + P_4$
次のことが得られます：

E_1 + E_2 = E_3 + E_4\\ E_1 \cdot \frac{v}{c} = E_4 \cdot \cos(\theta) \\ E_3 = -E_4 \cdot \sin(\theta) \end{gathered}

したがって、

\begin{gathered} E_4^2 - E_3^2=E_1^2 \cdot \frac{v^2}{c^2} \\ (E_1 + E_2) \cdot (E_4 - E_3)=E_4^2 - E_3^2 \\ E_4 - E_3 = \frac{E_1^2 \cdot \frac{v^2}{c^2}}{E_1 + E_2} \end{gathered}

また、
$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2} = 1 - \frac{E_2^2}{E_1^2} = \frac{E_1^2 - E_2^2}{E_1^2}$
得られるのは
$2 \cdot E_4 = E_1 + E_2 + \frac{E_1^2}{E_1+E_2} \cdot \frac{E_1^2-E_2^2}{E_1^2} = E_1 + E_2 + E_1 - E_2 = 2 \cdot E_1$
したがって、

E_1 = E_4 \\ E_2 = E_3 \end{gathered}

$\cos(\theta) = \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{E_2^2}{E_1^2}}$

光が粒子に照射され新しい粒子を生成する#

pair_production_hd

各粒子に対して、以下の四次元運動量があります：

入射する光：
$P_1=\frac{hf}{c} \cdot (1 \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ i)$
静止粒子：
$P_2=M \cdot (0 \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ ic)$
新しい粒子：
$P_3$
四次元運動量の保存から、
$P_1 + P_2 = P_3$
平方して得られるのは
$P_1 \circ P_1+2 P_1 \circ P_2+P_2 \circ P_2=P_3 \circ P_3$
もし元の粒子が相当している場合 >> 新しい粒子があるなら、
$0 + 2 \cdot h \cdot f \cdot M + (M \cdot c)^2 \approx (M + 2 \cdot m)^2 \cdot c^2$
簡略化すると、
$h \cdot f \approx 2 \cdot m_0 \cdot c^2 + 2 \cdot m_0^2 \cdot c^2 / M = 2 \cdot m_0 \cdot c^2 \cdot \left(1 + \frac{m_0}{M}\right)$

これにより、関与する粒子が電子である場合、入射量子のエネルギーは生成される粒子の静止エネルギーの少なくとも 2 倍でなければならないことがわかります。

粒子の完全非弾性衝突による新粒子の生成#

relativistic_collision_hd

各粒子に対して、以下の四次元ベクトルがあります：

入射粒子： $P_1$
被入射粒子： $P_2$
生成された粒子： $P_3$
四次元運動量の保存から得られるのは：
$P_1 + P_2 = P_3$
平方して得られるのは
$P_1 \circ P_1 +P_2 \circ P_2 + 2P_1 \circ P_2 = P_3 \circ P_3$
すなわち、
$m_1^2 + 2 \gamma_1 \gamma_2m_1m_2 \cdot \frac{(c^2-v_1v_2)}{c^2} + m_2^2 = m_3^2$
これにより、 $m_3$ が得られます。
また、四次元運動量の保存から得られるのは：
$v_3 = \frac{\gamma_1 \cdot m_1 \cdot v_1 + \gamma_2 \cdot m_2 \cdot v_2}{\gamma_1 \cdot m_1 + \gamma_2 \cdot m_2}$

粒子の完全弾性衝突#

elastic_collision_theta_alpha_hd

各粒子に対して、以下の四次元ベクトルがあります：

入射粒子：
$P_1=\gamma_1 m \cdot (v \ , \ 0 \ , \ 0 , \ ic)$
静止粒子：
$P_2=M \cdot (0 \ , \ 0 \ , \ 0 , \ ic)$
生成された粒子 1：
$P_3 = \gamma_3 M \cdot (w\cos(\theta) \ , \ w\sin(\theta) \ , \ 0 \ , \ ic)$
生成された粒子 2：
$P_4 = \gamma_4 m \cdot (w\cos(\alpha) \ , \ w\sin(\alpha) \ , \ 0 \ , \ ic)$
四次元運動量の保存から、
$P_1 + P_2 = P_3 + P_4$
平方して得られるのは
$P_1 \circ P_1 +P_2 \circ P_2 + 2P_1 \circ P_2 = P_3 \circ P_3 +P_4 \circ P_4 + 2P_3 \circ P_4$
また、
$P_1 \circ P_3 + P_2 \circ P_3 = P_3 \circ P_3 + P_4 \circ P_3 = P_3 \circ P_3 + P_1 \circ P_2$
次のように得られます：

\begin{gathered} P_1 \circ P_3 = \gamma_1 \cdot \gamma_3 \cdot m \cdot M \cdot (c^2 - v \cdot w \cdot \cos(\alpha))\\ P_2 \circ P_3 = \gamma_3 \cdot M^2 \cdot c^2, P_3 \circ P_3 = M^2 \cdot c^2 \\ P_1 \circ P_2 = \gamma_1 \cdot m \cdot M \cdot c^2 \end{gathered}

これにより、次のように解を得ることができます：

エネルギー保存と運動量保存から解を得ることができます：

\begin{gathered} \gamma_4 = \gamma_1 + \frac{M}{m} - \frac{M}{m} \cdot \gamma_3 \\ r_x = \left(\gamma_1 \cdot v - \gamma_w \cdot \frac{M}{m} \cdot w_x\right)/\gamma_r \\ w_x = w \cdot \cos(\alpha) \\ \beta = \sin^{-1}(r_x/r) \end{gathered}

コンプトン散乱#

compton_scattering_hd

各粒子に対して、以下の四次元ベクトルがあります：

入射する光：
$P_1=\frac{hf}{c} \cdot (1 \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ i)$
静止粒子：
$P_2=m \cdot (0 \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ ic)$
新しい粒子 1：
$P_3 = \frac{hf'}{c} \cdot (\cos(\theta) \ , \ \sin(\theta) \ , \ 0 \ , \ i)$
新しい粒子 2：
$P_4 = \gamma m \cdot ( \vec{v}\ , \ ic)$
四次元運動量の保存から、
$P_1 + P_2 = P_3 + P_4$
平方して得られるのは
$P_1 \circ P_1 +P_2 \circ P_2 + 2P_1 \circ P_2 = P_3 \circ P_3 +P_4 \circ P_4 + 2P_3 \circ P_4$
すなわち、
$P_1 \circ P_2 = P_3 \circ P_4$
また、
$P_1 \circ P_3 + P_2 \circ P_3 = P_3 \circ P_3 + P_4 \circ P_3 = P_1 \circ P_2$
すなわち、
$\frac{h}{\lambda} \cdot \frac{h}{\lambda'}(1-\cos \theta)+m_0 \cdot c \cdot \frac{h}{\lambda'}=m_0 \cdot c \cdot \frac{h}{\lambda}$
得られるのは
$\lambda'-\lambda = \frac{h}{m_0\cdot c} \cdot (1-\cos \theta)$
これがコンプトン散乱の古典的な結論です！

逆コンプトン散乱#

inverse_compton_scattering_hd

各粒子に対して、以下の四次元ベクトルがあります：

入射する光：
$P_1=\frac{hf}{c} \cdot (1 \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ i)$
高速粒子：
$P_2 = \gamma_2 m \cdot (v \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ ic)$
新しい粒子 1：
$P_3 = \frac{hf'}{c} \cdot (1 \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ i)$
新しい粒子 2：
$P_4 = \gamma_4 m \cdot (v' \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ ic)$
四次元運動量の保存から、
$P_1 + P_2 = P_3 + P_4$
平方して得られるのは
$P_1 \circ P_1 +P_2 \circ P_2 + 2P_1 \circ P_2 = P_3 \circ P_3 +P_4 \circ P_4 + 2P_3 \circ P_4$
すなわち、
$P_1 \circ P_2 = P_3 \circ P_4$
また、
$P_1 \circ P_3 + P_2 \circ P_3 = P_3 \circ P_3 + P_4 \circ P_3 = P_1 \circ P_2$
すなわち、
$\frac{2}{\gamma_2 m c^2} \cdot h \cdot f \cdot h \cdot f' + h \cdot f' \cdot \left(1-\frac{v}{c}\right) = h \cdot f \cdot \left(1+\frac{v}{c}\right) \approx 2 \cdot h \cdot f$
もし v が c に近い場合、次のようになります：
$h \cdot f' \cdot \left(\frac{1}{\gamma_2 m_0 c^2} \cdot h \cdot f + \frac{1}{2} \cdot \left(1-\frac{v}{c}\right)\right) = h \cdot f$
これにより、f と f' の関係が得られます！

四次元ベクトルについての考察#

私はこの基礎的な紹介記事があなたに何かのインスピレーションを与えることを望んでいますが、実際には四次元ベクトルの妙用はこれだけではありません。文章の長さの問題から、ここで結論とします（もしかしたら後でシリーズを開いて記録するかもしれません：P）。私たちは四次元ベクトルが相対論的現象を理解するための統一的で優雅な数学的枠組みを提供していることを見ました。これがあなたに何かのインスピレーションや考察を与えることを願っています。時には抽象的な数学的ツールが物理学の思考を大いに推進することがあるかもしれません。

PS：四次元ベクトルを中学物理競技大会で使用することができるかどうかについて、私の現在の経験では、非常に確信のある問題に対しては試すことができますが、一度間違えた場合、プロセスの得点があるという考えは持たないでください。物理競技大会は試験でもあるため、最も基本的で古典的な方法が最も好まれることが多いです（しかし、四次元ベクトルを使って検証するのは非常に良いことです：D）。