如何用四維矢量來解決狹義相對論問題（電磁學與動力學）

在上一篇文章中，我們已經介紹了基礎的四維矢量與時空變換，這篇文章將在上一篇的基礎上進行敘述。

電磁規律的四維矢量表示#

電量是四維標量#

在我們之前的介紹中我們已經得到了四維電流密度矢量
$j_p=(j_x \ ,\ j_y \ , \ j_z \ , \ ic\rho)$
又因為
$\rho = \gamma \rho' \ , \ dV = \frac{dV'}{\gamma}$
可以得到
$\rho dV = \rho' dV'$
從中可以看出電量是四維標量

洛倫茲條件#

由洛倫茲條件
$\nabla \cdot A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$
即

達朗貝爾方程#

由達朗貝爾方程
$\nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{j} \ , \ \nabla^2 \varphi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
且四維標量算符
$\square = \partial_\mu \partial_\mu = \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}$
可以得到
$\square A_\mu = - \mu_0 J_\mu$

電磁場張量#

由電磁場與電磁勢的微分關係
$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \ , \ \mathbf{E} = - \nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$
可以構造四維電磁場張量
$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$
即有

0 & B_3 & -B_2 & -iE_1/c \\ -B_3 & 0 & B_1 & -iE_2/c \\ B_2 & -B_1 & 0 & -iE_3/c \\ iE_1/c & iE_2/c & iE_3/c & 0 \end{bmatrix}$$ 我們會有變換 $$\mathbf{F}' = \mathbf{LFL}^\mathrm{T}$$ 容易得到

\begin{gathered}
\mathbf{E}' = \gamma(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) - (\gamma - 1)\mathbf{E}{\parallel} \
\mathbf{B}' = \gamma\left(\mathbf{B} - \frac{1}{c^2}\mathbf{v} \times \mathbf{E}\right) - (\gamma - 1)\mathbf{B}{\parallel}
\end{gathered}

### 麥克斯韋方程 由麥克斯韋方程

\begin{gathered}
\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \ , \ \nabla \times \mathbf{B} - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mu_0 \mathbf{j} \
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ , \ \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0
\end{gathered}

且 $$\partial_\nu F_{\mu\nu} = \mu_0 J_\mu$$ 可以得到 $$\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0$$ ### 電磁力密度和電磁場動量與能量 狹義相對論的核心原則是物理定律在所有慣性系中形式相同。經典的洛倫茲力公式 $$F=q(E+v×B)\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})F=q(E+v×B)

中的
$\mathbf{E}、\mathbf{B} 和 \mathbf{v}$
在洛倫茲變換下並不是簡單的矢量變換。為了確保力的定律也是協變的，我們需要引入電磁力的四維矢量。

\begin{gathered} \text{對於四維動量，由動量定理可以得到} \end{gathered}

\begin{gathered} K = \frac{d}{d\tau}(P) = \frac{d}{dt}(P) \cdot \frac{dt}{d\tau} = \gamma \cdot \frac{d}{dt}(P) = \gamma \cdot (\frac{d\vec{p}}{dt} \ , \ \frac{1}{c} \cdot \frac{dE_{tot}}{dt}) \\ = \gamma \cdot (\vec{f} \ , \ \frac{1}{c} \cdot \vec{f} \cdot \vec{u}) = \gamma \cdot q \cdot (\vec{E} + \vec{u} \times \vec{B} \ , \ \frac{1}{c} \cdot \vec{E} \cdot \vec{u}) = \frac{q}{c} \cdot F \cdot U \end{gathered}

\begin{gathered} 所以可以得到 \end{gathered}

\begin{gathered} K' = L \cdot K = \frac{q}{c} (L \cdot F \cdot L^{-1}) \cdot (L \cdot U) = \frac{q}{c} F' \cdot U' \end{gathered}

\begin{gathered} 我們發現K確實是滿足洛倫茲協變性的四維矢量 \end{gathered}