四次元ベクトルを用いて特殊相対性理論の問題を解決する方法（電磁気学と力学）

在上一篇文章中，我们已经介绍了基础的四维矢量与时空变换，这篇文章将在上一篇的基础上进行叙述。

電磁法則の四次元ベクトル表現#

電荷は四次元スカラーである#

私たちの以前の紹介で、四次元電流密度ベクトル
$j_p=(j_x \ ,\ j_y \ , \ j_z \ , \ ic\rho)$
が得られました。また、
$\rho = \gamma \rho' \ , \ dV = \frac{dV'}{\gamma}$
から
$\rho dV = \rho' dV'$
が得られ、電荷は四次元スカラーであることがわかります。

ローレンツ条件#

ローレンツ条件によれば
$\nabla \cdot A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$
すなわち

ダランベール方程式#

ダランベール方程式によれば
$\nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{j} \ , \ \nabla^2 \varphi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
また、四次元スカラー演算子
$\square = \partial_\mu \partial_\mu = \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}$
から
$\square A_\mu = - \mu_0 J_\mu$
が得られます。

電磁場テンソル#

電磁場と電磁ポテンシャルの微分関係から
$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \ , \ \mathbf{E} = - \nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$
四次元電磁場テンソルを構成できます。
$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$
すなわち

0 & B_3 & -B_2 & -iE_1/c \\ -B_3 & 0 & B_1 & -iE_2/c \\ B_2 & -B_1 & 0 & -iE_3/c \\ iE_1/c & iE_2/c & iE_3/c & 0 \end{bmatrix}$$ 変換が得られます。 $$\mathbf{F}' = \mathbf{LFL}^\mathrm{T}$$ 容易に得られるのは

\begin{gathered}
\mathbf{E}' = \gamma(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) - (\gamma - 1)\mathbf{E}{\parallel} \
\mathbf{B}' = \gamma\left(\mathbf{B} - \frac{1}{c^2}\mathbf{v} \times \mathbf{E}\right) - (\gamma - 1)\mathbf{B}{\parallel}
\end{gathered}

### マクスウェル方程式 マクスウェル方程式によれば

\begin{gathered}
\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \ , \ \nabla \times \mathbf{B} - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mu_0 \mathbf{j} \
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ , \ \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0
\end{gathered}

また $$\partial_\nu F_{\mu\nu} = \mu_0 J_\mu$$ から $$\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0$$ が得られます。 ### 電磁力密度と電磁場の運動量とエネルギー 特殊相対性理論の核心原則は物理法則がすべての慣性系で同じ形式であることです。古典的なローレンツ力の公式 $$F=q(E+v×B)\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})F=q(E+v×B)

の中で
$\mathbf{E}、\mathbf{B} と \mathbf{v}$
はローレンツ変換の下で単純なベクトル変換ではありません。力の法則も共変であることを保証するために、電磁力の四次元ベクトルを導入する必要があります。

\begin{gathered} \text{四次元運動量について、運動量の定理から得られます} \end{gathered}

\begin{gathered} K = \frac{d}{d\tau}(P) = \frac{d}{dt}(P) \cdot \frac{dt}{d\tau} = \gamma \cdot \frac{d}{dt}(P) = \gamma \cdot (\frac{d\vec{p}}{dt} \ , \ \frac{1}{c} \cdot \frac{dE_{tot}}{dt}) \\ = \gamma \cdot (\vec{f} \ , \ \frac{1}{c} \cdot \vec{f} \cdot \vec{u}) = \gamma \cdot q \cdot (\vec{E} + \vec{u} \times \vec{B} \ , \ \frac{1}{c} \cdot \vec{E} \cdot \vec{u}) = \frac{q}{c} \cdot F \cdot U \end{gathered}

\begin{gathered} したがって得られるのは \end{gathered}

\begin{gathered} K' = L \cdot K = \frac{q}{c} (L \cdot F \cdot L^{-1}) \cdot (L \cdot U) = \frac{q}{c} F' \cdot U' \end{gathered}

\begin{gathered} 私たちはKが確かにローレンツ共変性を満たす四次元ベクトルであることを発見しました \end{gathered}